REPORTE
DE LECTURA
GEOMETRÍA Y SU DIDÁCTICA PARA MAESTROS
I.
TEMA:
Geometría y didáctica para maestros.
II.
RESUMEN:
La lectura nos habla sobre la enseñanza de la
geometría en educación primaria. Se presenta organizado en tres capítulos: El
primero trata de figuras geométricas, el segundo sobre transformaciones
geométricas (simetría y semejanzas), y el tercer, sobre orientación espacial y
sistemas de referencia.
El objetivo del libro de Godino consiste en un análisis
curricular comparativo de distintos programas de materias agregadas al área de
didáctica de la matemática, relacionadas la geometría y su didáctica. Se
pretende enfocar y abordar situaciones y necesidades comunes desde distintos
puntos de vista, los cuales quedan plasmados en la descripción de la
metodología de cada departamento responsable de la docencia, en este ámbito
concreto.
III.
PRECISIÓN DE IDEAS PRINCIPALES Y SU ARGUMENTO:
·
Naturaleza
de los objetos geométricos
ü El
significado etimológico de la palabra geometría, “medida de la tierra”, nos
indica su origen, relacionado con las actividades de reconstrucción de los
límites de las parcelas de terreno en Egipto.
ü Pero
con los griegos la geometría se interesó por el mundo de las formas, la
identificación de sus componentes más elementales, de las relaciones y
combinaciones entre dichos componentes.
ü La
geometría se ocupa de una clase especial de objetos que designamos con palabras
como, punto, recta, plano, triángulo, polígono, poliedro, etc.
ü El lenguaje
geométrico tiene su origen en nuestra necesidad de describir el mundo de las
formas de los cuerpos perceptibles que nos rodean, su tamaño y posición en el
espacio.
·
La
Geometría estudia las formas de las figuras y los cuerpos geométricos.
ü La
Geometría estudia las formas de las figuras y los cuerpos geométricos, en la
vida cotidiana encontramos ejemplificaciones físicas de esos objetos ideales de
los que se ocupa la Geometría.
ü En
la propia naturaleza encontramos una de las principales fuentes de estos
objetos físicos que evocan figuras y cuerpos geométricos.
ü El
ser humano refleja en su quehacer diario y en sus obras de arte esas imágenes
ideales que obtiene de la naturaleza como: objetos de cerámica, dibujos,
edificios.
ü El
entorno artístico y arquitectónico ha sido un importante factor de desarrollo
de la Geometría con la construcción de viviendas o monumentos funerarios hasta
templos de los más diversos estilos han impulsado constantemente el
descubrimiento de nuevas formas y propiedades geométricas.
·
Componentes
elementales de las figuras geométricas
PUNTO,
RECTA Y PLANO
ü El
punto, como objeto o figura geométrica, se considera que no tiene dimensiones y
se usa para indicar una posición en el espacio.
ü Se
considera que dos puntos determinan una y sólo una línea recta que contiene a
dichos puntos. Tres o más puntos pueden determinar varias rectas, pero si están
contenidas en una recta se dice que son colineales.
ü Tres
puntos no colineales se dice que determinan un plano, figura geométrica que
suele ser evocada por una hoja de papel apoyada sobre una mesa, la propia
superficie de una mesa, la pizarra, etc.
ü De
nuevo al objeto o figura geométrica designada con la palabra ‘plano’ se le
atribuyen unas características ideales que no tienen tales objetos
perceptibles, como no tener límites en ninguna dirección, ni tampoco ningún
espesor.
ü Se
dice que las rectas y los planos son conjuntos de puntos.
SEGMENTOS
Y ÁNGULOS
ü Un
segmento se puede definir también como la intersección de dos semirectas
contenidas en una misma recta.
ü Los
segmentos pueden ser abiertos o cerrados según que en las semirectas se
consideren incluidos o no los extremos.
ü Un
ángulo se puede considerar como la intersección de dos semiplanos cerrados,
obtenidos a partir de dos rectas incidentes.
CURVAS
Y POLÍGONOS EN EL PLANO
ü Una
curva cerrada simple separa los puntos del plano en tres subconjuntos
disjuntos: la propia curva, el interior, y el exterior de la curva (teorema de
la curva de Jordan).
ü Los
polígonos se nombran según el número de lados o vértices que tienen (triángulo,
cuadrado, pentágono, hexágono, etc).
Polígonos regulares: Un polígono que tiene
todos sus lados iguales se dice que es equilátero (todos sus lados son
congruentes).
Un polígono convexo cuyos ángulos interiores
son todos congruentes se dice que es equiángulo.
LOS
TRIÁNGULOS Y SU CLASIFICACIÓN
Los triángulos se clasifican atendiendo a sus
lados y a sus ángulos.
Según
sus lados tenemos:
a) Equiláteros: Son los que tienen sus 3
lados iguales.
b) Isósceles: Son los que tienen dos lados
iguales.
c) Escalenos: Son los que sus 3 son lados
desiguales.
Según
sus ángulos:
a) Rectángulos: Son los que tienen un ángulo
recto (90°).
b) Acutángulos: Son los que tienen sus 3
ángulos agudos.
c) Obtusángulos: Son los que tienen un ángulo
obtuso.
Elementos
de un triángulo.
a) Bisectriz:
es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales.
b) Mediatriz:
de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio.
c) Altura:
es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto.
d) Mediana:
es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del lado opuesto.
CUADRILATEROS
Y SU CLASIFICACIÓN:
ü Los
polígonos más sencillos, por tener menor número de lados, son los
cuadriláteros.
ü Un
cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados.
ü Los
cuadriláteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y
dos diagonales.
ü En
todos los cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. Los
paralelogramos son los cuadriláteros que tienen paralelos los dos pares de
lados opuestos.
Paralelogramos:
ü Los
lados opuestos son congruentes, los ángulos opuestos son congruentes, las
diagonales se cortan mutuamente en partes congruentes.
Rectángulo:
ü Se
llama rectángulo al paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos rectos.
Rombo:
ü Se
llama rombo al paralelogramo que tiene sus cuatro lados congruentes.
Cuadrado
ü Se
llama cuadrado al paralelogramo que tiene sus cuatros ángulos y sus cuatro
lados congruentes.
Trapecio
y Trapezoides
ü Los
cuadriláteros que no son paralelogramos se clasifican en trapecios y
trapezoides.
Trapecio
ü Se
llama trapecio al cuadrilátero que tiene únicamente dos lados opuestos
paralelos.
Cometa
ü Se
llama así al trapezoide que tiene dos lados consecutivos congruentes y los
otros dos lados distintos de los anteriores, pero también congruentes entre sí.
Planos
y líneas en el espacio
ü Cada
plano separa los puntos del espacio en tres conjuntos disjuntos: el propio
plano y dos regiones llamados semiespacios.
ü Dos
planos en el espacio pueden tener una interección común, que será una recta, o
bien ser disjuntos, en cuyo caso se dice que son paralelos.
Curvas,
superficies y sólidos:
ü El
concepto intuitivo de curva se puede extender del plano al espacio imaginando
figuras dibujadas por un lápiz cuyos puntos dejan un trazo visible en el aire.
ü Cualquier
superficie sin agujeros y que encierra una región hueca su interior se dice que
es una superficie cerrada simple.
ü La
unión de todos los puntos de una superficie cerrada simple y todos los puntos
de su interior forman una figura espacial llamada un sólido.
POLIEDROS
Y SU CLASIFICACIÓN
ü Es
el sólido delimitado por una superficie cerrada simple formada por regiones
poligonales planas.
ü Cada
región poligonal se dice que es una cara del poliedro, y los vértices y lados
de las regiones poligonales se dicen que son los vértices y lados del poliedro.
ü La
fórmula de Euler para los poliedros:
Teorema:
En cualquier poliedro se cumple que la suma
del número de vértices y el de caras es igual al número de aristas más 2.
Deltaedros
ü La
letra griega delta mayúscula (D) recuerda la forma de los triángulos, por ello
se le da el nombre de deltaedros a los poliedros que se forman solamente con
caras triangulares.
Poliedros
semirregulares o Arquimedianos
ü Los
poliedros regulares cumplen las tres condiciones de regularidad (caras
regulares e iguales y vértices iguales). Si prescindimos de la condición de
igualdad de caras, los poliedros resultantes tienen un grado menor de
regularidad, y se llaman semirregulares o arquimedianos.
Conos
y cilindros
ü Los
conos y los cilindros son sólidos o cuerpos geométricos que generalizan las
pirámides y los prismas, respectivamente.
ü Un
cono tiene una base que es cualquier región limitada por una curva cerrada
simple contenida en un plano.
ü La
superficie lateral está generada por los segmentos que unen un punto fijo (el
vértice) no situado en el plano de la base con los puntos de la curva que
delimita la base.
·
Desarrollo
cognitivo y progresión en el aprendizaje
Investigación de Piaget sobre el desarrollo
de conceptos geométricos:
ü Las
primeras interacciones del niño pequeño con su entorno, previas al desarrollo
del lenguaje, se basan casi totalmente en experiencias espaciales, muy en
particular a través de los sentidos de la vista y el tacto.
ü Más
tarde se desarrolla el lenguaje y adquiere significado en el seno y en el
contexto del entorno físico.
ü Piaget
distingue, además, una progresiva diferenciación de propiedades geométricas,
partiendo de aquellas propiedades que él llama topológicas, o sea, propiedades
globales independientes de la forma o el tamaño.
ü El
segundo grupo de propiedades que según Piaget distinguen los niños son las que
denomina propiedades proyectivas, que suponen la capacidad del niño para
predecir qué aspecto presentará un objeto al ser visto desde diversos ángulos.
ü El
tercer grupo de propiedades geométricas son las euclídeas, esto es, las
relativas a tamaños, distancias y direcciones, que conducen por lo tanto a la
medición de longitudes, ángulos, áreas, etc. Se pueden distinguir, por ejemplo,
un trapecio y un rectángulo basándose en los ángulos y en las longitudes de los
lados. Los niños pueden en este estadio reproducir la posición exacta de un
punto en una página, o una figura geométrica, y decidir qué líneas y ángulos ha
de medir para ello.
·
El
modelo de los niveles de razonamiento geométrico de Van Hiele
ü En
este modelo se proponen cinco niveles jerárquicos para describir la comprensión
y el dominio de las nociones y habilidades espaciales. Cada uno de los cinco
niveles describe procesos de pensamiento que se ponen en juego ante tareas y
situaciones geométricas.
Enunciado
del Modelo de van Hiele
ü Se
pueden encontrar varios niveles diferentes de perfección en el razonamiento de
los estudiantes de matemáticas.
ü Un
estudiante solo podrá comprender realmente aquellas partes de las matemáticas
que el profesor le presente de manera adecuada a su nivel de razonamiento.
Niveles de razonamiento de Van Hiele
ü Nivel 0: los
objetos se perciben en su totalidad como un todo, no diferenciando sus
características y propiedades. Las descripciones son visuales y tendientes a
asemejarlas con elementos familiares.
Ejemplo: identifica paralelogramos en un
conjunto de figuras. Identifica ángulos y triángulos en diferentes posiciones
en imágenes.
ü Nivel 1: se
perciben propiedades de los objetos geométricos. Pueden describir objetos a
través de sus propiedades (ya no solo visualmente). Pero no puede relacionar
las propiedades unas con otras.
Ejemplo: un cuadrado tiene lados iguales. Un
cuadrado tiene ángulos iguales
ü Nivel 2:
describen los objetos y figuras de manera formal. Entienden los significados de
las definiciones. Reconocen como algunas propiedades derivan de otras.
Establecen relaciones entre propiedades y sus consecuencias. Los estudiantes
son capaces de seguir demostraciones. Aunque no las entienden como un todo, ya
que, con su razonamiento lógico solo son capaces de seguir pasos individuales.
Ejemplo: en un paralelogramo, lados opuestos
iguales implican lados opuestos paralelos. Lados opuestos paralelos implican
lados opuestos iguales.
ü Nivel 3: en
este nivel se realizan deducciones y demostraciones. Se entiende la naturaleza
axiomática y se comprende las propiedades y se formalizan en sistemas
axiomáticos. Van Hiele llama a este nivel la esencia de la matemática
Ejemplo: demuestra de forma sintética o
analítica que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.
ü Nivel 4: se
trabaja la geometría sin necesidad de objetos geométricos concretos. Se conoce
la existencia de diferentes sistemas axiomáticos y se puede analizar y
comparar. Se aceptará una demostración contraria a la intuición y al sentido
común si el argumento es válido.
ü Nivel 5: se
piensa que es inalcanzable para los estudiantes y muchas veces se prescinde de
el.
Propiedades
del modelo
ü Secuencial. Porque
una persona debe pasar por los niveles en un orden. Para funcionar con éxito en
un nivel particular, un estudiante debe haber adquirido las estrategias del
nivel precedente.
ü Progresivo. El
progreso o la falta de un nivel a otro depende más del contenido y método de
instrucción recibido que de la edad: ningún método de instrucción permite a un
estudiante saltarse un nivel; algunos métodos favorecen el progreso, mientras
otros lo retrasan o bloquean el movimiento entre niveles.
·
Situaciones
y recursos didácticos
ü Juegos de psicomotricidad. Las
situaciones de estos parecen muy recomendables para iniciar el estudio de
distintos aspectos de la geometría.
ü Descripción y clasificación de objetos. En
las primeras actividades se debe partir del propio vocabulario que usan los
niños para describir las formas geométricas, introduciendo nuevas palabras a
medida que sea apropiado. Uno de los primeros tipos de actividades más
importantes que se pueden proponer a los niños es ofrecerles la oportunidad de
encontrar semejanzas y diferencias entre una gran variedad de formas.
·
Construcción
y exploración de polígonos
ü Actividades
con el Tangram: En una primera parte los estudiantes pueden elegir una figura y
usar las siete piezas para rellenar el contorno. En la segunda parte, “desafíos
con el tangram”, se propone que los estudiantes usen las piezas del tangram
para formar polígonos dados.
·
Construcción
y exploración de sólidos
ü La
construcción de formas tridimensionales presenta un poco de más dificultad que
las formas bidimensionales pero posiblemente sea una actividad más importante.
Construir un modelo de una forma tridimensional es una manera informal de
lograr la comprensión de la forma de una manera intuitiva en términos de sus
partes componentes.
IV. CARTOGRAFÍA MENTAL
V. REFERENCIAS DE LA FUENTE
·
Godino, J. (16 de Setiembre de 2016). Geometría
y su Didáctica para Maestros. Obtenido de Proyecto Edumat-Maestros:
http://www.ugr.es/~jgodino/edumatmaestros/manual/4_Geometria.pdf
