LAS FRACCIONES

“LAS FRACCIONES”

I.              TEMA:

Fracciones.

II.            RESUMEN:

Este documento nos habla sobre la teoría de las fracciones, nos muestra los objetivos, uno de ellos: saber comunicar con precisión la información valiéndose de las fracciones y de sus propiedades, también los contenidos que presenta, algunos de estos: definición, lectura de fracciones, representación gráfica de fracciones mediante figuras planas y en una línea recta racional, clases/tipos de fracciones, etc. También nos brinda una galería de ejercicios resueltos y por resolver para dominar y enseñar el tema con facilidad a nuestros estudiantes.

III.           PRECISIÓN DE IDEAS PRINCIPALES Y SU ARGUMENTO:

·         Definición del termino fracción.

ü  División de un todo en partes o parte de un todo.

ü  Cociente indicado de dos números.

ü  Resultado de una medida.

ü  Operador.

·         Lectura de fracciones.

Para leer fracciones debemos tener en cuenta:

ü  Se lee empezando por el numerador tal y como está escrito.

ü  Se sigue por el dominador. Ejemplo: 1   “un medio”.

                                                      2

ü  A partir de 10 el denominador se lee con la terminación “avos”.

·         Representación gráfica de fracciones.

Se puede representar en dos formas:

ü  Consiste en elegir figuras planas conocidas, dividirlas en tantas partes iguales como indica el denominador y tomar/dibujar las partes que indica el numerador.

ü  En una línea recta. Esta línea se llama línea recta racional. Se trata de dividir la recta en unidades a izquierda y derecha del origen (0), teniendo en cuenta que estas divisiones deben ser todas iguales. Después hay que subdividir (volver a dividir) cada una de esas unidades (partes enteras) en tantas partes como indica el denominador de la fracción a representar, y señalar las partes que indica el numerador.

·         Clases o tipos de fracciones:

ü  Fracciones propias: son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador.

ü  Fracciones impropias: son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador.

ü  Fracciones iguales a la unidad: son aquellas que tienen numerador y denominador iguales.

ü  Fracciones números mixtos: son expresiones que tienen una parte entera y otra parte fraccionaria (decimal).

ü  Fracciones opuestas: es otra fracción con sus mismos términos pero de signo contrario.

ü  Fracciones inversas: es otra fracción del mismo signo pero con sus términos cambiados.

ü  Fracciones decimales: son las que tienen como denominadores la unidad seguida de ceros, o sea, 10, 100, 1.000, 10.000, etc.

ü  Fracciones equivalentes: Dos fracciones son equivalentes si, teniendo términos distintos, tienen el mismo valor. Hay una regla para saberlo: multiplicar sus términos en cruz, y si se obtiene el mismo resultado serán equivalentes, si no es así, son distintas.

·         Amplificación y simplificación de fracciones.

ü  Amplificación: Amplificar una fracción es obtener otra equivalente multiplicando sus dos términos (numerador y denominador) por un mismo número.

ü  Simplificación: Simplificar una fracción es convertirla en otra equivalente dividiendo sus dos términos (numerador y denominador) por un mismo número. Una simplificación puede ser parcial o total. Es parcial cuando dicha fracción todavía se puede seguir simplificando, y es total cuando la fracción obtenida ya no se puede simplificar más.

S  Fracción irreductible: Al simplificar fracciones sucesivamente se llega siempre a una en la que ya no se pueden dividir sus términos por un mismo número, o sea, que ya no se puede simplificar más.

·         Fracción de una cantidad.

ü  La fracción actúa como operador, que significa que para hallar la fracción de una cantidad dada se multiplica dicha cantidad por el numerador y se divide el resultado entre el denominador.

·         Reducción de fracciones a común denominador.

ü   Para reducir fracciones a común denominador se emplean dos métodos:

a) Método de los productos cruzados. Dadas varias fracciones, se van multiplicando los dos términos de cada una por los denominadores de las demás y obtenemos fracciones equivalentes a las iniciales pero con el mismo denominador.

b) Método del Mínimo Denominador Común.

1º) Se halla el mínimo común múltiplo (m. c. m.) de los denominadores de las fracciones dadas.

2º) Se divide el m. c. m. obtenido entre cada uno de los denominadores, y el cociente de cada división se multiplica por ambos términos, es decir, respectivamente arriba (por el numerador) y abajo (por el denominador) en cada fracción.

3º) Las nuevas fracciones así obtenidas, que son equivalentes a las primeras, ya que lo que hemos hecho en ellas es amplificarlas, tienen ya el mismo denominador común (el m. c. m.). Y están listas para ser ordenadas –en forma creciente (<) o decreciente (>) operadas, etc.

·         Ordenación de fracciones.

Toda ordenación se puede hacer de dos formas:

ü  De forma creciente, o sea, de menor a mayor (signo a utilizar: <).

ü  De forma decreciente, es decir, de mayor a menor, cuyo signo es: >.

Para clasificar esta ordenación, dividiremos las fracciones en grupos:

ü  Fracciones que tienen el mismo numerador y distintos denominadores. son mayores aquellas que poseen menor el denominador, porque las partes en que se divide cada unidad son mayores al hacer menos partes de cada unidad.

ü  Fracciones que tienen el mismo denominador y distintos numeradores. son mayores aquellas que poseen mayor numerador, ya que en este caso todas las partes son iguales, y será mayor la fracción que coge más partes.

ü  Fracciones que distintos numeradores y denominadores. Para comparar (ordenar) fracciones que tienen sus términos distintos, se reducen a M.D.C. (Mínimo Denominador Común). Luego se ordenan de forma creciente (<) o decreciente (>), según te indiquen.

·         Sumas (adición) y restas (sustracción) combinadas de fracciones.

ü  Si las fracciones ya tienen el mismo denominador, se operan (+ o –) directamente los numeradores.

ü  Si los denominadores son distintos, en las operaciones combinadas de sumas y restas de fracciones hay que reducir previamente a común denominador, pero haciéndolo siempre por el método del mínimo común múltiplo (m. c. m.), llamado método del M. D. C. (Mínimo Denominador Común).

ü  Una vez se obtengan las fracciones equivalentes con el mismo denominador, se operan (+ o –) los numeradores, obteniéndose una sola fracción con el mismo denominador –el m. c. m. de los anteriores-, que será el resultado.

ü  Y, eso sí, no olvides que todos los resultados deben estar simplificados (ser fracción irreducible, llamada de otra forma representante canónico del número racional, como veremos más adelante).

·         Propiedades de la suma de fracciones.

ü  Propiedad conmutativa. El resultado de la “+” de fracciones no depende del orden.

ü  Propiedad asociativa. El resultado de la suma de fracciones no depende de la forma en que se asocien.

ü  Propiedad elemento neutro. El elemento neutro de la suma de fracciones es la fracción cero (0), o sea, todas aquellas fracciones que tienen como numerador “0 “.

·         Operaciones con paréntesis y corchetes.

Se pueden resolver de dos formas:

ü  De dentro hacia fuera: Haciendo cada uno de los paréntesis, de los cuales se irán obteniendo una sola fracción en cada uno de ellos. Resolviendo a continuación cada uno de los corchetes, hasta volver a obtener una fracción de cada uno, y, por último, operar las fracciones así obtenidas (siempre por el método del mínimo).

ü  De fuera hacia dentro: Quitando paréntesis y corchetes, para lo cual debes tener en cuenta que:

a) En primer lugar se eliminan los paréntesis: si tienen delante un signo “+”, todo queda igual; si tienen delante un signo “–“, se cambia de signo a todo lo de dentro de ellos.

b) En segundo lugar eliminas los corchetes: si tienen delante un signo “+ “, todo queda igual; si tienen delante un signo “–“, se cambia de signo a todo lo de dentro de ellos.

c) Y, por fin, se operan todas las fracciones (o enteros) así obtenidas.

·         Producto y división de fracciones.

ü  Producto: Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y obtener así el numerador del producto, y se multiplican los denominadores para formar el denominador del producto. Después, la fracción resultado del producto se debe simplificar hasta hacerla irreducible.

ü  División: Para dividir dos fracciones se multiplica la fracción dividendo (la 1ª) por la inversa de la fracción divisor (la 2ª).

·         Propiedades del producto de fracciones.

ü  Propiedad conmutativa. El orden en que se sitúen las fracciones no altera el resultado del producto.

ü  Propiedad asociativa. El resultado de varios productos no se modifica por la forma de asociar las fracciones.

ü  Propiedad elemento neutro. El elemento neutro del producto de fracciones es la fracción unidad (1), o sea, todas aquellas fracciones que tienen numerador y denominador iguales.

ü  Propiedad elemento inverso. La fracción inversa de una dada es otra con sus términos cambiados (invertidos). Al multiplicar cualquier fracción por su inversa se obtiene el elemento neutro, es decir, la fracción unidad.

ü  Propiedad distributiva. En expresiones de fracciones que multiplican a paréntesis en los que hay sumas y/o restas se puede repartir (distribuir) el producto a las fracciones incluidas en el paréntesis, obteniéndose el mismo resultado que resolviendo antes el paréntesis y multiplicando después.

ü  Propiedad sacar factor común. En aquellas sumas y/o restas de productos de fracciones que tienen algún factor (fracción) “repe” es posible extraer (sacar) la fracción repetida para que multiplique conjuntamente a todas las demás, que incluiremos con sus sumas y/o restas dentro de un paréntesis. Y, por supuesto, se obtiene el mismo resultado que operando en primer lugar los productos y sumando o restando al final.

·         Operaciones combinadas.

ü  Enteros.

ü  Sumas y restas de fracciones con iguales denominadores.

ü  Sumas y restas de fracciones con distintos denominadores.

ü  Sumas y restas con enteros, fracciones y números mixtos.

ü  Etc.

·         Expresiones decimales.

ü  Número decimal es todo aquel número que no es entero, es decir, que no pertenece a “Z”. En el siguiente esquema podemos estudiar y distinguir las diferentes clases de números decimales.

ü  Clases de decimales:

S  Números decimales limitados: Aquellos que se obtienen de una división cuyo resto, antes o después, es cero.

S  Periódicos: puros, mixtos.

S  Números decimales ilimitados. Son los números decimales provenientes de divisiones o raíces inexactas.

S  Números no periódicos. Números decimales ilimitados en los que antes o después se empiezan a repetir cifras decimales pero nunca de una forma periódica

·         Fracciones generatrices.

Se llama fracción generatriz de un número a aquella fracción irreducible (o no lo es y se reduce) de la que procede dicho número. Veamos las de los distintos números:

ü  Fracción generatriz de un número entero, para hallarla es suficiente con ponerle de denominador la unidad, aunque cualquier ampliación de esta fracción de denominador la unidad daría como resultado dicho número entero.

ü  Fracción generatriz de un número decimal limitado. El numerador está formado por la parte entera y la parte decimal prescindiendo de la coma. El denominador se forma con la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal.

ü  Fracción generatriz de un número decimal ilimitado periódico puro. El numerador está formado por la diferencia entre la parte “entera y el periodo” y (menos) “la parte entera”. El denominador está formado por tantos nueves como cifras tiene el periodo.

ü  Fracción generatriz de un número decimal ilimitado periódico mixto. El numerador está formado por un número igual a la parte entera y la parte decimal sin la coma menos el número que forma la parte entera y el anteperiodo (parte decimal no periódica). El denominador está formado por tantos nueves como cifras tiene el periodo y tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo.

ü  Fracción generatriz de un número decimal ilimitado no periódico. Los números decimales ilimitados que no tienen cifras decimales repetidas de una forma periódica no tienen fracciones generatrices, nunca provienen de una división. Se obtienen de raíces inexactas, que veremos en el tema 4.

·         Introducción al concepto de número racional.

ü  Un número racional está formado por infinitas fracciones que son equivalentes entre sí.

ü  Una fracción es sólo una de las infinitas fracciones que pueden representar a un número racional.

ü  A la fracción irreducible de las infinitas equivalentes que representan a un número racional se le llama representante canónico de ese número racional.

IV. CARTOGRAFÍA MENTAL

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 V.             REFERENCIAS DE LA FUENTE

·        S.A. (21 de Setiembre de 2016). Las fracciones. Obtenido de wordpress.com: https://lucaszuiga98.files.wordpress.com/2014/04/09-el-tema-3-teoria-ejercicios-y problemas-resueltos-y-para-resolver-p-121-a-164.pdf