GEOMETRÍA Y SU DIDÁCTICA PARA MAESTROS

REPORTE DE LECTURA

GEOMETRÍA Y SU DIDÁCTICA PARA MAESTROS

I.             TEMA:

Geometría y didáctica para maestros.

II.           RESUMEN:

La lectura nos habla sobre la enseñanza de la geometría en educación primaria. Se presenta organizado en tres capítulos: El primero trata de figuras geométricas, el segundo sobre transformaciones geométricas (simetría y semejanzas), y el tercer, sobre orientación espacial y sistemas de referencia.

El objetivo del libro de Godino consiste en un análisis curricular comparativo de distintos programas de materias agregadas al área de didáctica de la matemática, relacionadas la geometría y su didáctica. Se pretende enfocar y abordar situaciones y necesidades comunes desde distintos puntos de vista, los cuales quedan plasmados en la descripción de la metodología de cada departamento responsable de la docencia, en este ámbito concreto.

III.           PRECISIÓN DE IDEAS PRINCIPALES Y SU ARGUMENTO:

·         Naturaleza de los objetos geométricos

ü  El significado etimológico de la palabra geometría, “medida de la tierra”, nos indica su origen, relacionado con las actividades de reconstrucción de los límites de las parcelas de terreno en Egipto.

ü  Pero con los griegos la geometría se interesó por el mundo de las formas, la identificación de sus componentes más elementales, de las relaciones y combinaciones entre dichos componentes.

ü  La geometría se ocupa de una clase especial de objetos que designamos con palabras como, punto, recta, plano, triángulo, polígono, poliedro, etc.

ü  El lenguaje geométrico tiene su origen en nuestra necesidad de describir el mundo de las formas de los cuerpos perceptibles que nos rodean, su tamaño y posición en el espacio.

·         La Geometría estudia las formas de las figuras y los cuerpos geométricos.

ü  La Geometría estudia las formas de las figuras y los cuerpos geométricos, en la vida cotidiana encontramos ejemplificaciones físicas de esos objetos ideales de los que se ocupa la Geometría.

ü  En la propia naturaleza encontramos una de las principales fuentes de estos objetos físicos que evocan figuras y cuerpos geométricos.

ü  El ser humano refleja en su quehacer diario y en sus obras de arte esas imágenes ideales que obtiene de la naturaleza como: objetos de cerámica, dibujos, edificios.

ü  El entorno artístico y arquitectónico ha sido un importante factor de desarrollo de la Geometría con la construcción de viviendas o monumentos funerarios hasta templos de los más diversos estilos han impulsado constantemente el descubrimiento de nuevas formas y propiedades geométricas.

·         Componentes elementales de las figuras geométricas

PUNTO, RECTA Y PLANO

ü  El punto, como objeto o figura geométrica, se considera que no tiene dimensiones y se usa para indicar una posición en el espacio.

ü  Se considera que dos puntos determinan una y sólo una línea recta que contiene a dichos puntos. Tres o más puntos pueden determinar varias rectas, pero si están contenidas en una recta se dice que son colineales.

ü  Tres puntos no colineales se dice que determinan un plano, figura geométrica que suele ser evocada por una hoja de papel apoyada sobre una mesa, la propia superficie de una mesa, la pizarra, etc.

ü  De nuevo al objeto o figura geométrica designada con la palabra ‘plano’ se le atribuyen unas características ideales que no tienen tales objetos perceptibles, como no tener límites en ninguna dirección, ni tampoco ningún espesor.

ü  Se dice que las rectas y los planos son conjuntos de puntos.

SEGMENTOS Y ÁNGULOS

ü  Un segmento se puede definir también como la intersección de dos semirectas contenidas en una misma recta.

ü  Los segmentos pueden ser abiertos o cerrados según que en las semirectas se consideren incluidos o no los extremos.

ü  Un ángulo se puede considerar como la intersección de dos semiplanos cerrados, obtenidos a partir de dos rectas incidentes.

CURVAS Y POLÍGONOS EN EL PLANO

ü  Una curva cerrada simple separa los puntos del plano en tres subconjuntos disjuntos: la propia curva, el interior, y el exterior de la curva (teorema de la curva de Jordan).

ü  Los polígonos se nombran según el número de lados o vértices que tienen (triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono, etc).

Polígonos regulares: Un polígono que tiene todos sus lados iguales se dice que es equilátero (todos sus lados son congruentes).

Un polígono convexo cuyos ángulos interiores son todos congruentes se dice que es equiángulo.

LOS TRIÁNGULOS Y SU CLASIFICACIÓN

Los triángulos se clasifican atendiendo a sus lados y a sus ángulos.

Según sus lados tenemos:

a) Equiláteros: Son los que tienen sus 3 lados iguales.

b) Isósceles: Son los que tienen dos lados iguales.

c) Escalenos: Son los que sus 3 son lados desiguales.

Según sus ángulos:

a) Rectángulos: Son los que tienen un ángulo recto (90°).

b) Acutángulos: Son los que tienen sus 3 ángulos agudos.

c) Obtusángulos: Son los que tienen un ángulo obtuso.

Elementos de un triángulo.

a)    Bisectriz: es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales.

b)    Mediatriz: de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio.

c)    Altura: es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto.

d)    Mediana: es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del lado opuesto.

CUADRILATEROS Y SU CLASIFICACIÓN:

ü  Los polígonos más sencillos, por tener menor número de lados, son los cuadriláteros.

ü  Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados.

ü  Los cuadriláteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales.

ü  En todos los cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. Los paralelogramos son los cuadriláteros que tienen paralelos los dos pares de lados opuestos.

Paralelogramos:

ü  Los lados opuestos son congruentes, los ángulos opuestos son congruentes, las diagonales se cortan mutuamente en partes congruentes.

Rectángulo:

ü  Se llama rectángulo al paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos rectos.

Rombo:

ü  Se llama rombo al paralelogramo que tiene sus cuatro lados congruentes.

Cuadrado

ü  Se llama cuadrado al paralelogramo que tiene sus cuatros ángulos y sus cuatro lados congruentes.

Trapecio y Trapezoides

ü  Los cuadriláteros que no son paralelogramos se clasifican en trapecios y trapezoides.

Trapecio

ü  Se llama trapecio al cuadrilátero que tiene únicamente dos lados opuestos paralelos.

Cometa

ü  Se llama así al trapezoide que tiene dos lados consecutivos congruentes y los otros dos lados distintos de los anteriores, pero también congruentes entre sí.

Planos y líneas en el espacio

ü  Cada plano separa los puntos del espacio en tres conjuntos disjuntos: el propio plano y dos regiones llamados semiespacios.

ü  Dos planos en el espacio pueden tener una interección común, que será una recta, o bien ser disjuntos, en cuyo caso se dice que son paralelos.

Curvas, superficies y sólidos:

ü  El concepto intuitivo de curva se puede extender del plano al espacio imaginando figuras dibujadas por un lápiz cuyos puntos dejan un trazo visible en el aire.

ü  Cualquier superficie sin agujeros y que encierra una región hueca su interior se dice que es una superficie cerrada simple.

ü  La unión de todos los puntos de una superficie cerrada simple y todos los puntos de su interior forman una figura espacial llamada un sólido.

POLIEDROS Y SU CLASIFICACIÓN

ü  Es el sólido delimitado por una superficie cerrada simple formada por regiones poligonales planas.

ü  Cada región poligonal se dice que es una cara del poliedro, y los vértices y lados de las regiones poligonales se dicen que son los vértices y lados del poliedro.

ü  La fórmula de Euler para los poliedros:

Teorema:

En cualquier poliedro se cumple que la suma del número de vértices y el de caras es igual al número de aristas más 2.

Deltaedros

ü  La letra griega delta mayúscula (D) recuerda la forma de los triángulos, por ello se le da el nombre de deltaedros a los poliedros que se forman solamente con caras triangulares.

Poliedros semirregulares o Arquimedianos

ü  Los poliedros regulares cumplen las tres condiciones de regularidad (caras regulares e iguales y vértices iguales). Si prescindimos de la condición de igualdad de caras, los poliedros resultantes tienen un grado menor de regularidad, y se llaman semirregulares o arquimedianos.

Conos y cilindros

ü  Los conos y los cilindros son sólidos o cuerpos geométricos que generalizan las pirámides y los prismas, respectivamente.

ü  Un cono tiene una base que es cualquier región limitada por una curva cerrada simple contenida en un plano.

ü  La superficie lateral está generada por los segmentos que unen un punto fijo (el vértice) no situado en el plano de la base con los puntos de la curva que delimita la base.

·         Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje

Investigación de Piaget sobre el desarrollo de conceptos geométricos:

ü  Las primeras interacciones del niño pequeño con su entorno, previas al desarrollo del lenguaje, se basan casi totalmente en experiencias espaciales, muy en particular a través de los sentidos de la vista y el tacto.

ü  Más tarde se desarrolla el lenguaje y adquiere significado en el seno y en el contexto del entorno físico.

ü  Piaget distingue, además, una progresiva diferenciación de propiedades geométricas, partiendo de aquellas propiedades que él llama topológicas, o sea, propiedades globales independientes de la forma o el tamaño.

ü  El segundo grupo de propiedades que según Piaget distinguen los niños son las que denomina propiedades proyectivas, que suponen la capacidad del niño para predecir qué aspecto presentará un objeto al ser visto desde diversos ángulos.

ü  El tercer grupo de propiedades geométricas son las euclídeas, esto es, las relativas a tamaños, distancias y direcciones, que conducen por lo tanto a la medición de longitudes, ángulos, áreas, etc. Se pueden distinguir, por ejemplo, un trapecio y un rectángulo basándose en los ángulos y en las longitudes de los lados. Los niños pueden en este estadio reproducir la posición exacta de un punto en una página, o una figura geométrica, y decidir qué líneas y ángulos ha de medir para ello.

·         El modelo de los niveles de razonamiento geométrico de Van Hiele

ü  En este modelo se proponen cinco niveles jerárquicos para describir la comprensión y el dominio de las nociones y habilidades espaciales. Cada uno de los cinco niveles describe procesos de pensamiento que se ponen en juego ante tareas y situaciones geométricas.

Enunciado del Modelo de van Hiele

ü  Se pueden encontrar varios niveles diferentes de perfección en el razonamiento de los estudiantes de matemáticas.

ü  Un estudiante solo podrá comprender realmente aquellas partes de las matemáticas que el profesor le presente de manera adecuada a su nivel de razonamiento.

Niveles de razonamiento de Van Hiele

ü  Nivel 0: los objetos se perciben en su totalidad como un todo, no diferenciando sus características y propiedades. Las descripciones son visuales y tendientes a asemejarlas con elementos familiares.

Ejemplo: identifica paralelogramos en un conjunto de figuras. Identifica ángulos y triángulos en diferentes posiciones en imágenes.

ü  Nivel 1: se perciben propiedades de los objetos geométricos. Pueden describir objetos a través de sus propiedades (ya no solo visualmente). Pero no puede relacionar las propiedades unas con otras.

Ejemplo: un cuadrado tiene lados iguales. Un cuadrado tiene ángulos iguales

ü  Nivel 2: describen los objetos y figuras de manera formal. Entienden los significados de las definiciones. Reconocen como algunas propiedades derivan de otras. Establecen relaciones entre propiedades y sus consecuencias. Los estudiantes son capaces de seguir demostraciones. Aunque no las entienden como un todo, ya que, con su razonamiento lógico solo son capaces de seguir pasos individuales.

Ejemplo: en un paralelogramo, lados opuestos iguales implican lados opuestos paralelos. Lados opuestos paralelos implican lados opuestos iguales.

ü  Nivel 3: en este nivel se realizan deducciones y demostraciones. Se entiende la naturaleza axiomática y se comprende las propiedades y se formalizan en sistemas axiomáticos. Van Hiele llama a este nivel la esencia de la matemática

Ejemplo: demuestra de forma sintética o analítica que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

ü  Nivel 4: se trabaja la geometría sin necesidad de objetos geométricos concretos. Se conoce la existencia de diferentes sistemas axiomáticos y se puede analizar y comparar. Se aceptará una demostración contraria a la intuición y al sentido común si el argumento es válido.

ü  Nivel 5: se piensa que es inalcanzable para los estudiantes y muchas veces se prescinde de el.

Propiedades del modelo

ü  Secuencial. Porque una persona debe pasar por los niveles en un orden. Para funcionar con éxito en un nivel particular, un estudiante debe haber adquirido las estrategias del nivel precedente.

ü  Progresivo. El progreso o la falta de un nivel a otro depende más del contenido y método de instrucción recibido que de la edad: ningún método de instrucción permite a un estudiante saltarse un nivel; algunos métodos favorecen el progreso, mientras otros lo retrasan o bloquean el movimiento entre niveles.

·         Situaciones y recursos didácticos

ü  Juegos de psicomotricidad. Las situaciones de estos parecen muy recomendables para iniciar el estudio de distintos aspectos de la geometría. 

ü  Descripción y clasificación de objetos. En las primeras actividades se debe partir del propio vocabulario que usan los niños para describir las formas geométricas, introduciendo nuevas palabras a medida que sea apropiado. Uno de los primeros tipos de actividades más importantes que se pueden proponer a los niños es ofrecerles la oportunidad de encontrar semejanzas y diferencias entre una gran variedad de formas.

·         Construcción y exploración de polígonos

ü  Actividades con el Tangram: En una primera parte los estudiantes pueden elegir una figura y usar las siete piezas para rellenar el contorno. En la segunda parte, “desafíos con el tangram”, se propone que los estudiantes usen las piezas del tangram para formar polígonos dados.

·         Construcción y exploración de sólidos

ü  La construcción de formas tridimensionales presenta un poco de más dificultad que las formas bidimensionales pero posiblemente sea una actividad más importante. Construir un modelo de una forma tridimensional es una manera informal de lograr la comprensión de la forma de una manera intuitiva en términos de sus partes componentes.

IV. CARTOGRAFÍA MENTAL

V. REFERENCIAS DE LA FUENTE

·        Godino, J. (16 de Setiembre de 2016). Geometría y su Didáctica para Maestros. Obtenido de Proyecto Edumat-Maestros: http://www.ugr.es/~jgodino/edumatmaestros/manual/4_Geometria.pdf